Dreisatzaufgaben lösen – proportional (mehr zu mehr) oder antiproportional (mehr zu weniger).
Der Dreisatz ist das Verfahren, mit dem man aus drei bekannten Größen die vierte bestimmt. Voraussetzung ist, dass zwischen den Größen ein festes Verhältnis besteht. Der Name kommt von den drei Schritten des klassischen Rechenwegs: von der gegebenen Menge auf eine Einheit schließen, und von dieser Einheit auf die gesuchte Menge.
Entscheidend ist zuerst die Frage, welche Art von Verhältnis vorliegt – daran scheitern die meisten Dreisatzaufgaben, nicht am Rechnen. Beim proportionalen Dreisatz wachsen beide Größen gemeinsam: mehr Ware kostet mehr Geld, mehr Strecke braucht mehr Benzin, mehr Arbeitszeit ergibt mehr Lohn. Beim antiproportionalen Dreisatz verhält es sich umgekehrt: Je mehr von der einen Größe, desto weniger von der anderen. Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit für dieselbe Aufgabe, schnelleres Fahren verkürzt die Fahrzeit, mehr Personen teilen sich einen Vorrat, der dann kürzer reicht.
Der proportionale Rechenweg in drei Schritten, am Beispiel: 3 Kilogramm kosten 6 Euro, wie viel kosten 5 Kilogramm? Erster Schritt: die bekannte Zuordnung notieren, 3 kg entsprechen 6 €. Zweiter Schritt: auf eine Einheit herunterrechnen, also durch 3 teilen – 1 kg kostet 2 €. Dritter Schritt: auf die gesuchte Menge hochrechnen, mal 5 – 5 kg kosten 10 €. Als Formel: gesuchter Wert = bekannter Wert ÷ bekannte Menge × gesuchte Menge.
Beim antiproportionalen Dreisatz kehrt sich der mittlere Schritt um: Statt zu teilen wird multipliziert und umgekehrt. Beispiel: 4 Arbeiter brauchen 6 Stunden, wie lange brauchen 3 Arbeiter? Ein Arbeiter allein bräuchte 4 × 6 = 24 Stunden – hier wird multipliziert, weil weniger Arbeiter mehr Zeit bedeuten. Drei Arbeiter brauchen dann 24 ÷ 3 = 8 Stunden. Als Formel: gesuchter Wert = bekannter Wert × bekannte Menge ÷ gesuchte Menge.
Die Probe ist einfach und lohnt sich: Prüfe, ob das Ergebnis in die erwartete Richtung geht. Beim proportionalen Dreisatz muss ein größerer Ausgangswert zu einem größeren Ergebnis führen, beim antiproportionalen zu einem kleineren. Wer bei den Arbeitern 4,5 Stunden herausbekommt statt 8, hat die Verhältnisart verwechselt – ein Fehler, den man am Ergebnis sofort sieht, wenn man kurz auf Plausibilität schaut.
Nicht jede Aufgabe mit drei Zahlen ist ein Dreisatz. Er setzt ein gleichbleibendes Verhältnis voraus. Wenn ein Maler doppelt so lange für die doppelte Fläche braucht, passt das; wenn zehn Maler sich im selben Raum gegenseitig behindern, gilt die reine Antiproportionalität nicht mehr. Auch bei Prozenten, Zinsen oder Mischungsverhältnissen ist der Dreisatz oft nur ein Zwischenschritt – dafür gibt es eigene Rechner.