Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 eingeben – der Rechner liefert beide Lösungen, die Diskriminante und den Scheitelpunkt.
Quadratische Gleichungen lassen sich nicht wie lineare Gleichungen umstellen, weil die Unbekannte in zwei Potenzen auftritt. Die pq-Formel löst dieses Problem in einem Schritt – vorausgesetzt, die Gleichung liegt in der Normalform vor: x² + px + q = 0. Der Faktor vor dem x² muss also 1 sein.
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Dahinter steckt die quadratische Ergänzung: Man addiert (p/2)² auf beiden Seiten, formt die linke Seite zum vollständigen Quadrat (x + p/2)² um und zieht anschließend die Wurzel. Das ± entsteht dabei ganz natürlich, weil eine Quadratwurzel zwei Vorzeichen zulässt. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante und entscheidet über die Anzahl der Lösungen: Ist sie positiv, gibt es zwei; ist sie null, fallen beide zusammen; ist sie negativ, existiert keine reelle Lösung – die Parabel schneidet die x-Achse dann nicht.
x² − 6x + 8 = 0, also p = −6 und q = 8. Zuerst −p/2 = 3. Die Diskriminante beträgt 3² − 8 = 1, ihre Wurzel ist 1. Damit ergibt sich x₁ = 3 + 1 = 4 und x₂ = 3 − 1 = 2. Die Probe bestätigt es: 16 − 24 + 8 = 0 und 4 − 12 + 8 = 0. Der Scheitelpunkt liegt bei (3 | −1), also genau zwischen den beiden Nullstellen – das gilt immer, weil die Parabel symmetrisch zur Geraden x = −p/2 ist.
Der häufigste Fehler ist die vergessene Normalform: Bei 2x² − 12x + 16 = 0 muss zuerst durch 2 geteilt werden, sonst rechnet man mit falschem p und q. Der zweithäufigste betrifft das Vorzeichen – bei p = −6 ist −p/2 gleich +3, nicht −3. Und drittens wird q oft mit falschem Vorzeichen übernommen, wenn die Gleichung nicht auf null gebracht wurde: x² + 3x = 10 muss erst zu x² + 3x − 10 = 0 umgeformt werden. Ein Trick zur Kontrolle ist der Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen ist immer −p, ihr Produkt immer q. Im Beispiel gilt 4 + 2 = 6 = −(−6) und 4 · 2 = 8 – stimmt beides, ist die Rechnung fast sicher richtig.
Beide liefern dasselbe Ergebnis. Die abc-Formel funktioniert auch, wenn der Vorfaktor a ungleich 1 ist, dafür ist sie länger. In der Praxis lohnt die pq-Formel, wenn die Gleichung ohnehin normiert vorliegt oder sich leicht normieren lässt; sonst spart die abc-Formel den Zwischenschritt. Für Gleichungen ohne konstantes Glied ist ohnehin das Ausklammern schneller: x² + 5x = 0 wird zu x(x + 5) = 0 mit den Lösungen 0 und −5. Verwandte Werkzeuge sind der Wurzel- und Potenzrechner für die Zwischenschritte und der ggT/kgV-Rechner beim Kürzen von Brüchen in den Koeffizienten.