Berechne Standardabweichung, Varianz und Mittelwert einer Zahlenreihe – wahlweise für die Grundgesamtheit oder eine Stichprobe.
Die Stichproben-Standardabweichung (Teiler n−1) ist der Standard, wenn die Daten eine Stichprobe aus einer größeren Menge sind.
Der Rechner ermittelt zuerst den Mittelwert der Zahlenreihe. Dann berechnet er für jeden Wert die quadrierte Abweichung vom Mittelwert und summiert diese. Die Varianz ist der Durchschnitt dieser quadrierten Abweichungen, die Standardabweichung ihre Wurzel.
Es gibt zwei Varianten. Bei der Grundgesamtheit wird durch die Anzahl der Werte geteilt, bei der Stichprobe durch die Anzahl minus eins. Die Stichproben-Variante ist der Standard, wenn die Daten nur eine Auswahl aus einer größeren Menge sind – sie korrigiert die Unterschätzung.
Beispiel: Für die Reihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Mittelwert genau 5. Die Populations-Standardabweichung beträgt exakt 2, die Stichproben-Standardabweichung rund 2,14. Die Standardabweichung misst, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen.
Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte dicht am Mittelwert liegen, eine große eine breite Streuung. Die Berechnung läuft vollständig in deinem Browser, ohne dass Daten übertragen werden.
Es gibt zwei Standardabweichungen, und die Wahl entscheidet über das Ergebnis. Beschreiben die Daten die vollständige Grundgesamtheit – etwa die Noten aller Schüler einer Klasse –, wird durch n geteilt. Sind sie nur eine Stichprobe, aus der auf eine größere Menge geschlossen werden soll, teilt man durch n − 1. Dieser Korrekturschritt heißt Bessel-Korrektur und gleicht aus, dass eine Stichprobe die Streuung systematisch unterschätzt. Bei kleinen Datenmengen ist der Unterschied erheblich: Bei fünf Werten liegt die Stichprobenvarianz um 25 Prozent höher.
Die Standardabweichung ist die durchschnittliche Entfernung der Werte vom Mittelwert, gemessen in derselben Einheit wie die Daten selbst – anders als die Varianz, die in quadrierten Einheiten vorliegt und deshalb schwer zu deuten ist. Bei annähernd normalverteilten Daten liegen rund 68 Prozent aller Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, etwa 95 Prozent innerhalb von zwei und 99,7 Prozent innerhalb von drei. Diese Faustregel macht den Wert praktisch nutzbar: Sie erlaubt eine schnelle Einschätzung, ob ein Messwert typisch oder ungewöhnlich ist.
Für die Werte 4, 8, 6, 5 und 7 beträgt der Mittelwert 6. Die Abweichungen sind −2, 2, 0, −1 und 1, ihre Quadrate 4, 4, 0, 1 und 1 mit der Summe 10. Als Grundgesamtheit ergibt sich √(10/5) = 1,41, als Stichprobe √(10/4) = 1,58.
Für den Vergleich unterschiedlicher Messgrößen dient der Variationskoeffizient: Standardabweichung geteilt durch Mittelwert, angegeben in Prozent. Er macht die Streuung von Körpergrößen und Einkommen überhaupt erst vergleichbar, weil er die Einheit herauskürzt.
Mittelwert und Median liefert der Durchschnitt-Rechner, prozentuale Abweichungen der Prozentrechner. Für Notenverteilungen eignet sich zusätzlich der Notendurchschnitt-Rechner.