Berechne die Fläche eines Dreiecks – aus Grundseite und Höhe oder aus drei Seiten mit der Formel von Heron.
Alle Ergebnisse in der eingegebenen Längeneinheit (z. B. cm ergibt cm², cm³).
Der Dreieck-Rechner bietet zwei Wege. Kennst du Grundseite und Höhe, ist die Fläche einfach die Hälfte des Produkts aus beiden. Kennst du dagegen alle drei Seitenlängen, kommt die Formel von Heron zum Einsatz.
Bei der Formel von Heron wird zuerst der halbe Umfang gebildet. Die Fläche ist dann die Wurzel aus dem Produkt dieses halben Umfangs mit seinen Differenzen zu den drei Seiten. Beispiel: Ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 hat eine Fläche von genau 6 und einen Umfang von 12.
Nicht jede Kombination von drei Längen ergibt ein Dreieck. Die Dreiecksungleichung verlangt, dass jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen. Der Rechner prüft das und warnt, wenn die Seiten kein Dreieck bilden können.
Das Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 ist übrigens rechtwinklig – hier stünde die Grundseite-mal-Höhe-Methode mit Grundseite 4 und Höhe 3 für dasselbe Ergebnis. Die Berechnung läuft vollständig in deinem Browser.
Nicht jede Kombination von Angaben bestimmt ein Dreieck eindeutig. Die Kongruenzsätze benennen vier Fälle, in denen es genau eine Lösung gibt: drei Seiten, zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel, eine Seite mit zwei anliegenden Winkeln, sowie zwei Seiten mit dem Winkel gegenüber der längeren. Sind dagegen zwei Seiten und der Winkel gegenüber der kürzeren gegeben, können zwei verschiedene Dreiecke entstehen – der klassische Zweideutigkeitsfall. Drei Winkel allein legen nur die Form fest, nicht die Größe.
Für Dreiecke ohne rechten Winkel treten zwei Sätze an die Stelle des Pythagoras. Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis jeder Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels konstant ist – damit lassen sich fehlende Winkel und Seiten bestimmen, wenn ein passendes Paar bekannt ist. Der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ verallgemeinert den Satz des Pythagoras: Bei einem rechten Winkel wird der Kosinus null, und der Zusatzterm verschwindet.
Die bekannteste Formel ist Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei. Ist die Höhe nicht bekannt, hilft die trigonometrische Variante A = ½ · a · b · sin γ. Sind nur die drei Seiten gegeben, führt die Formel von Heron zum Ziel: Mit dem halben Umfang s gilt A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Für ein Dreieck mit den Seiten 5, 6 und 7 ergibt das s = 9 und A = √(9 · 4 · 3 · 2) = 14,7 Flächeneinheiten.
Für den Spezialfall des rechten Winkels genügt der Pythagoras-Rechner. Steigungen in Grad und Prozent rechnet der Steigungs-Umrechner um, Flächen mit vier Ecken der Rechteck-Rechner.