Berechne Volumen und Oberfläche einer Kugel aus Radius oder Durchmesser.
Alle Ergebnisse in der eingegebenen Längeneinheit (z. B. cm ergibt cm², cm³).
Der Kugel-Rechner nutzt zwei Formeln. Das Volumen ist vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei. Die Oberfläche ist vier mal Pi mal Radius zum Quadrat. Aus dem Durchmesser ergibt sich der Radius durch Halbieren.
Beispiel: Bei Radius 3 beträgt das Volumen vier Drittel mal Pi mal 27, also rund 113,1. Bei genau diesem Radius stimmt der Zahlenwert der Oberfläche zufällig mit dem des Volumens überein – das ist eine Besonderheit von Radius 3 und gilt nicht allgemein.
Das Volumen wächst mit der dritten Potenz des Radius: Verdoppelt sich der Radius, verachtfacht sich das Volumen. Die Oberfläche wächst nur quadratisch, also vervierfacht sie sich beim doppelten Radius.
Kugeln begegnen dir bei Bällen, Tanks und Planeten. Das Volumen hat die dritte Potenz der Längeneinheit, die Oberfläche die zweite. Die Berechnung läuft vollständig in deinem Browser.
Für die Kugel gelten V = 4/3 · π · r³ für das Volumen und A = 4 · π · r² für die Oberfläche. Beide hängen enger zusammen, als es scheint: Die Oberfläche ist genau die Ableitung des Volumens nach dem Radius. Anschaulich bedeutet das, dass eine dünne Schicht auf der Kugeloberfläche gerade so viel Volumen hinzufügt, wie Fläche mal Schichtdicke ergibt – dieselbe Logik, nach der Farbverbrauch oder Beschichtungsmengen kalkuliert werden.
Weil der Radius in der dritten Potenz steht, verachtfacht sich das Volumen bei doppeltem Radius, während sich die Oberfläche nur vervierfacht. Genau daraus folgt eine der wichtigsten Regeln der Natur und Technik: Große Körper haben im Verhältnis zu ihrem Volumen wenig Oberfläche. Ein großer Wassertank kühlt deshalb langsamer aus als ein kleiner, und ein Heißluftballon braucht bei doppeltem Durchmesser achtmal so viel Gas, aber nur die vierfache Hülle. Umgekehrt hat die Kugel unter allen Körpern mit gleichem Volumen die kleinstmögliche Oberfläche – der Grund, warum Tropfen und Seifenblasen rund werden.
Eine Kugel mit 20 Zentimetern Durchmesser hat den Radius 10 cm. Das Volumen beträgt 4/3 × 3,14159 × 1.000 = 4.188,8 Kubikzentimeter, also gut 4,19 Liter. Die Oberfläche misst 4 × 3,14159 × 100 = 1.256,6 Quadratzentimeter. Ein Basketball mit 24 Zentimetern Durchmesser käme dagegen bereits auf 7,24 Liter – 73 Prozent mehr Volumen bei nur 20 Prozent mehr Durchmesser. Für die Kugelkappe, etwa den Füllstand in einem kugelförmigen Behälter, gilt eine eigene Formel, die zusätzlich die Füllhöhe berücksichtigt.
Für andere Körper mit gekrümmten oder geraden Flächen führen der Zylinder-Rechner und der Quader-Rechner weiter; die zugrunde liegende Kreisfläche berechnet der Kreis-Rechner.